Durasjon (varighet) som prisfølsomhet

Durasjon definert som D i bokens (5.6) er et ganske enkelt mål på prisfølsomhet. Tabell 5.5 viste at statsobligasjonen (08/19; 4,5 %) har en durasjon på 7,21 år målt med D. Vi skal nå sammenligne dette enkle målet på prisfølsomhet med en nøyaktig beregning. Den nøyaktige beregningen består i å regne ut faktisk prisendring på obligasjonen når markedsrenten (avkastningskravet) endres med hhv. ± 1 og ± 0,5 prosentpoeng.

Først beregner vi de nye obligasjonsprisene etter endringen i markedsrenten ved hjelp av uttrykk (5.1). Resultatene er sammenfattet i tabell 5.6, der de nye obligasjonsprisene står i andre kolonne. For å kunne sammenligne direkte med prisfølsomheten beregnet med durasjonsmålet, har vi i andre kolonne beregnet prosentvis prisendring fra utgangspunktet, som var en pris på kr 1 068,75 ved 3,56 % markedsrente. Dette er altså den nøyaktige metoden for å beregne prisens følsomhet overfor markedsrenten.

TABELL 5.N.1: Prisfølsomhet overfor endret markedsrente for Den norske stats obligasjon 08/19; 4.5 % med halvårlig rentebetaling

Vi beregner så prisfølsomhet med utgangspunkt i uttrykk (5.5), hvor vi setter inn den allerede beregnede durasjonen D = 7,21 fra (5.6). Prisendringen ved endret markedsrente på ±1 og ±0,5 prosentpoeng blir da:¹

Markedsrenten øker 1 prosentpoeng: $\frac{\Delta P_0}{P_0}-\frac{\Delta \left(1+r\right)}{\left(1+r\right)}\cdot D=-\frac{\mathrm{0,01}}{\mathrm{1,0356}}\cdot \mathrm{7,21}=\mathrm{–0,0696}\left(\mathrm{–6,96}\%\right)$

Markedsrenten øker 1 prosentpoeng: $\frac{\Delta P_0}{P_0}=-\frac{-\mathrm{0,01}}{\mathrm{1,0356}}\cdot \mathrm{7,21}=\mathrm{0,0696}\left(\mathrm{6,96}\%\right)$

Markedsrenten øker 1 prosentpoeng: $\frac{\Delta P_0}{P_0}=-\frac{-\mathrm{0,005}}{\mathrm{1,0356}}\cdot \mathrm{7,21}=-\mathrm{0,0348}\left(-\mathrm{3,48}\%\right)$

Markedsrenten øker 1 prosentpoeng: $\frac{\Delta P_0}{P_0}=-\frac{\mathrm{0,005}}{\mathrm{1,0356}}\cdot \mathrm{7,21}=\mathrm{0,0348}\left(\mathrm{3,48}\%\right)$

La oss så sammenligne disse resultatene med de nøyaktige beregningene fra tabell 5.6. Da ser du for det første at ved bruk av D er det like (symmetriske) effekter på prisen ved økt og redusert markedsrente. Dette er ikke tilfelle i tabell 5.6. For det andre innebærer D en forenkling fordi den antar en lineær sammenheng mellom pris og rentenivå. Denne sammenhengen er i virkeligheten ikke-lineær.² Likevel er Macauleys durasjonsmål det mest brukte i praksis. Mange undersøkelser har da også vist at det spiller liten rolle om du alternativt bruker langt mer komplekse durasjonsmål som eksplisitt tar hensyn til ikke-linearitet.

¹ Merk at fordi det er halvårlig kupong, bruker vi halvårs markedsrente og halvårs durasjon.

² Tabellen illustrerer det generelle poeng at sammenhengen mellom obligasjonspriser og rentenivå ikke er proporsjonal. For det første ser du både fra øverste og nederste halvdel av tabellen at det ikke er symmetri mellom tilsvarende renteøkninger og rentefall (hhv. + 7,39 % og – 6,80 % ved ± 1 % renteendring og + 3,62 % og – 3,47 % ved ± 0,5 % renteendring). Fra øverste halvdel av tabellen ser du dessuten at summen av priseffektene ved renteendringer på til sammen to prosentpoeng er 14,19 %, eller 14,19/2 = 7,09 % pr. prosentpoeng. I nederste halvdel av tabellen gjøres samme beregning for ± 0,5 % endring i markedsrenten. Her er den totale prisendringen 3,55 % pr. prosentpoeng. Forskjellen i prisendring pr. prosentpoeng renteendring er altså avhengig av størrelsen på renteendringen. Følgelig er det ikke proporsjonal sammenheng mellom obligasjonspris og rentenivå. Sammenhengen viser seg å være konveks.